Правильный \(100\)-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Решение

\(\textbf{Решение 1.}\) У каждого параллелограмма с горизонтальными сторонами покрасим верхнюю сторону в синий цвет, а нижнюю в красный. То же сделаем со всеми имеющимися горизонтальными сторонами треугольников (если треугольник снизу от стороны, красим её в синий, иначе \(-\) в красный). А если у \(100\)-угольника есть горизонтальные стороны, то их покрасим наоборот: верхнюю в красный цвет, а нижнюю в синий.

Теперь каждый горизонтальный отрезок на рисунке покрашен один раз в синий цвет («снизу») и один раз в красный («сверху»), поэтому синего и красного цвета мы потратили поровну. Но ведь и в каждом параллелограмме, и в нашем \(100\)-угольнике синего и красного цвета было использовано поровну. Поэтому если их стереть и оставить только два треугольника, то в них тоже синего и красного поровну. Другими словами, если у одного есть синяя горизонтальная сторона какой-то длины, то у другого есть красная горизонтальная сторона такой же длины!

Аналогично докажем, что остальные стороны треугольников попарно равны. Следовательно, они равны по трём сторонам.

\(\textbf{Решение 2.}\) Для каждой фигуры \(-\) параллелограмма и треугольника \(-\) рассмотрим все вершины фигур на границе. Для каждой фигуры проведём между соседними точками на границе векторы так, чтобы их направление соответствовало обходу границы фигуры против часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную прямую \(l\) и все векторы, параллельные ей. Сумма этих векторов равна нулю. Действительно, к каждой линии разреза, параллельной \(l\), примыкают наборы противоположных векторов. Если \(l\) параллельна сторонам \(100\)-угольника, то сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам \(100\)-угольника, также равна нулю, так как они будут направлены в противоположные стороны и равны по длине.

С другой стороны, в каждом параллелограмме сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам, равна нулю. Следовательно, и в двух треугольниках сумма всех векторов, параллельных \(l\), также будет нулевой.

Выберем в качестве \(l\) прямую, параллельную какой-нибудь из сторон первого треугольника. Получим, что набор векторов второго треугольника, параллельных \(l\), \(-\) это векторы, противоположные векторам первого треугольника. Аналогично для двух других сторон. Поэтому для каждой стороны первого треугольника существует параллельная и равная ей по длине сторона второго треугольника. Следовательно, треугольники равны.

\(\textbf{Замечание.}\) Разрезания из условия существуют, причём они могут быть устроены достаточно несимметричным образом (например, не обязательно все стороны треугольников параллельны сторонам \(100\)-угольника, треугольники не обязательно: образуют параллелограмм, примыкают к сторонам \(100\)-угольника, симметричны относительно центра \(100\)-угольника). На рисунке справа приведён пример разрезания \(10\)-угольника.