Решить дифференциальное уравнение \(\int\limits_0^x {(x - t)y(t){\mkern 1mu} dt = 2x + } \int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} \).

Решение

Продифференцировав левую и правую части уравнения, получим: \[\displaylines{{\left( {\int\limits_0^x {(x - t)y(t){\mkern 1mu} dt} } \right)^\prime } = {\left( {x\int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt - \int\limits_0^x {t{\mkern 1mu} {\kern 1pt} y(t){\mkern 1mu} dt} } } \right)^\prime } = {\left( {x\int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} } \right)^\prime } - {\left( {\int\limits_0^x {ty(t){\mkern 1mu} dt} } \right)^\prime } = \\ =\int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} + x{\left( {\int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} } \right)^\prime -xy(x) } = \int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} + xy(x) - xy(x) = \int\limits_0^x {y(t){\mkern 1mu} dt} = 2 + y(x).}\]

Продифференцируем последнее равенство ещё раз, получим: \(y(x)=y^\prime(x)\). Это дифференциальное уравнение имеет решение \(y=C\cdot e^x\).

Подставив это решение в исходное уравнение, получим значение константы \(C=2\). Решение исходного дифференциального уравнения имеет вид \(y=-2e^x\).

Ответ: \(y=-2e^x\).