Через вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного треугольника \(ABC\) \( (AB =
BC)\) проведена окружность, пересекающая отрезки \(AC\) и \(BC\) в точках \(X\) и \(Y\) соответственно. Описанная окружность треугольника \(CXY\) пересекает отрезок \(BX\) в точке \(Z\). Оказалось, что \(AB = 2CZ\). Найдите \(\frac{BZ}{ZX}\).

Решение

Шаг 1: Введение обозначений
Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = \alpha\), так как \(ABC\) равнобедренный с \(AB = BC\).
Пусть \(\angle ABC = \beta\). Тогда:
\[
2\alpha + \beta = 180^\circ
\]
Пусть \(AB = BC = a\).

Шаг 2: Анализ вписанного четырёхугольника \(ABYX\)
Окружность проходит через точки \(A\), \(B\), \(Y\), \(X\). Следовательно, четырёхугольник \(ABYX\) является вписанным.

Свойство вписанного четырёхугольника: внешний угол равен внутреннему противоположному.

\(\angle CYX\) — внешний угол для \(ABYX\) в точке \(Y\). Следовательно, \(\angle CYX = \angle A = \alpha\)

\(\angle CXY\) — внешний угол для \(ABYX\) в точке \(X\). Следовательно, \(\angle CXY = \angle B = \beta\)

Шаг 3: Анализ треугольника \(CXY\)
Рассмотрим \(\triangle CXY\). Мы знаем углы:

\(\angle C = \alpha\)

\(\angle CYX = \alpha\)

\(\angle CXY = \beta\)

Поскольку \(\angle C = \angle CYX = \alpha\), \(\triangle CXY\) является равнобедренным с основанием \(XY\). Отсюда:
\[
CX = CY
\]

Сумма углов в \(\triangle CXY\):
\[
\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \beta = 180^\circ
\]
Это совпадает с суммой углов \(\triangle ABC\), что ожидаемо, так как \(\triangle CXY \sim \triangle CBA\) (по двум углам: \(\angle C\) общий, \(\angle CYX = \angle CAB\)).

Шаг 4: Анализ вписанного четырёхугольника \(CXZY\)
Окружность описана вокруг \(\triangle CXY\) и пересекает \(BX\) в точке \(Z\). Следовательно, точки \(C\), \(X\), \(Z\), \(Y\) лежат на одной окружности.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:
\[
\angle CZX = \angle CYX \quad \text{(опираются на дугу \(CX\))}
\]
Так как \(\angle CYX = \alpha\) (из Шага 1), то \(\angle CZX = \alpha\).

Шаг 5: Анализ треугольника \(CZX\)
Рассмотрим \(\triangle CZX\). Мы знаем углы:

\(\angle C = \alpha\)

\(\angle CZX = \alpha\)

Поскольку \(\angle C = \angle CZX = \alpha\), \(\triangle CZX\) является равнобедренным с основанием \(CZ\). Отсюда:
\[
CX = CZ
\]

Шаг 6: Вывод об отношениях сторон
Из Шага 3: \(CX = CY\)
Из Шага 5: \(CX = CZ\)
Следовательно:
\[
CX = CY = CZ
\]

Нам дано, что \(AB = 2CZ\).
Поскольку \(AB = a\), то:
\[
a = 2CZ \Rightarrow CZ = \frac{a}{2}
\]
Значит:
\[
CX = \frac{a}{2}, \quad CY = \frac{a}{2}
\]

Теперь используем подобие \(\triangle CXY \sim \triangle CBA\) из Шага 2.

Коэффициент подобия:
\[
k = \frac{CX}{CB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}
\]

Из подобия следует:
\[
\frac{CY}{CA} = k = \frac{1}{2} \Rightarrow CA = 2CY
\]
Так как \(CY = \frac{a}{2}\), то:
\[
CA = 2 \cdot \frac{a}{2} = a
\]

Мы получили, что \(AB = BC = CA = a\).
Следовательно, \(\triangle ABC\) является равносторонним.
Значит, все его углы равны \(60^\circ\): \(\alpha = 60^\circ\), \(\beta = 60^\circ\).

Шаг 7: Нахождение отношения \(\dfrac{BZ}{ZX}\)
Так как \(\triangle CZX\) имеет углы \(\angle C = 60^\circ\) и \(\angle CZX = 60^\circ\), то он является равносторонним.

Следовательно:
\[
CZ = CX = ZX
\]
Мы знаем \(CZ = \frac{a}{2}\), поэтому:
\[
ZX = \frac{a}{2}
\]

Рассмотрим \(\triangle ABX\):

\(AB = a\) (сторона \(\triangle ABC\))

\(AX = AC - CX = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}\)

\(\angle A = 60^\circ\)

\(\href{///examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{По теореме косинусов}}\) для \(\triangle ABX\) найдём \(BX\):
\[
BX^2 = AB^2 + AX^2 - 2 \cdot AB \cdot AX \cdot \cos(\angle A) = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(60^\circ) = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} =
\]
\[
= a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = \frac{4a^2 + a^2 - 2a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
\]
\[
BX = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}
\]

Точка \(Z\) лежит на отрезке \(BX\), поэтому:
\[
BX = BZ + ZX \Rightarrow BZ = BX - ZX
\]
\[
BZ = \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}
\]

Теперь найдём отношение \(\dfrac{BZ}{ZX}\):
\[
\frac{BZ}{ZX} = \frac{\frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3} - 1.
\]

Ответ: \(\sqrt{3}-1\).