Дан многочлен \(Р\left( х \right)\) степени \(n > 5\) с целыми коэффициентами, имеющий \(n\) различных целых корней. Докажите, что многочлен \(Р\left( х \right) + 3\) имеет \(n\) различных действительных корней.

Решение

Пусть \(Q\left( х \right) = Р\left( х \right) + 3, x_1 < x_2 < \dots < x_n\) \(-\) корни \(Р\left( х \right), y_i = \dfrac{1}{2} (x_i + x_{i + 1}), 1 \leqslant i \leqslant n - 1\). Тогда \(Р\left( х \right) = a(x - x_1)(x - x_2) \dots (x - x_n)\)
(\(a\) \(-\) ненулевое целое число). Заметим, что \( \left| Р\left( y_i \right) \right|^3 \geqslant \left( \dfrac{1}{2} \right)^2\left( \dfrac{3}{2} \right)^2\left( \dfrac{5}{2} \right)^2 > 3\) при всех указанных \(i\). Если \(n\) чётно и \(a > 0\), то \(Р\left( х \right) \leqslant 0\) на отрезках \(\left[ x_1, x_2 \right], \left[ x_3, x_4 \right], \dots , \left[ x_{n – 1}, x_n \right]\), а многочлен \(Q\left( х \right)\) равен \(3\) в концах этих отрезков и отрицателен в их серединах, то есть имеет по два корня на каждом из них \(-\) всего \(n\) корней.

Если \(n\) чётно и \(a < 0\), то \(Р\left( х \right) \leq 0\) на отрезках \(\left[ x_2, x_3 \right], \left[ x_4, x_5 \right], \dots , \left[ x_{n - 2}, x_{n - 1} \right]\), а \(Q\left( х \right)\) имеет по два корня на каждом из них и по корню на \(\left( - \infty, x_1 \right)\) и \(\left( x_n, + \infty \right)\) \(-\) всего \(n\) корней.

Если \(n\) нечётно, то аналогично \(Q\left( х \right)\) имеет по два корня на каждом из \(\dfrac{n - 1}{2}\) отрезков вида \(\left[ x_i, x_{i + 1} \right]\) и корень на одном из интервалов \(\left( - \infty, x_1 \right)\) или \(\left( x_n, + \infty \right)\) \(-\) всего \(n\) корней.