Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(y=(\arcsin x) \cdot (\arccos x).\)

Решение

Воспользуемся равенством \(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\) и сделаем замену \(t= \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}].\) Таким образом, задача сводится к исследованию функции \(y(t)=t(\frac{\pi}{2}-t)=-t^2+\frac{\pi} {2}t.\) Т.к. коэффициент при \(t^2\) меньше 0, то наибольшее значение функции достигается в вершине параболы, т.е. в точке \(t=\frac{\pi} {4} \in\left [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi} {2}\right],\) и оно равно \(y=\frac{\pi^2} {16}.\) А наименьшее значение достигается в одной из точек \(t_1=-\frac{\pi} {2},\) \(t_2=\frac{\pi} {2}.\) Подстановка этих точек в уравнение дает \(y(t_1)=-\frac{\pi^2} {2},\) \(y(t_2)=0.\) Получаем, что наименьшее значение функции \(-\frac{\pi^2} {2}.\)

Ответ: наибольшее: \(\frac{\pi^2}{16}\), наименьшее: \(-\frac{\pi^2}{2}\).