Петя и Вася пригласили одноклассников на свой день рожденья в дом Пети и посадили всех за круглый стол пить чай. Петя отметил для себя наименьшее число стульев, разделяющих его с каждым из приглашенных гостей, кроме Васи. Сложив полученные числа, он получил \(60\). Найти число стульев за столом, если известно, что оно четное. Какое наименьшее число стульев разделяло Петю и Васю?

Решение

Пусть за столом стояло \(2n\) стульев(т.е. за столом сидело всего \(2n\) человек). На круге точками отмечены стулья. Числом \(K\) обозначено количество стульев, разделяющих Петю и человека, сидящего на этом стуле. Тогда число стульев, посчитанных Петей, включая Васю, равно
\[2\bigl(1 + 2 + 3 + \dots + (n-2)\bigl) + (n-1) = (n-1)(n-2) + (n-1) = (n-1)^2.\]
Обозначим \(K_B\) число стульев, вычисленное для Васи. Тогда
\begin{gather*}
\left\{
\begin{array}{l}
(n-1)^2 - K_B = 60, \\
0 \leqslant K_B \leqslant (n-1).
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \\
\\
\Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
K_B = (n-1)^2 - 60, \\
0 \leqslant (n-1)^2 - 60 \leqslant (n-1).
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \\
\\
\Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
K_B = (n-1)^2 - 60, \\
1 + \sqrt{60} \leqslant n \leqslant \dfrac{3+\sqrt{241}}{2}.
\end{array}\right.
\end{gather*}
Учитывая, что \(n \in \mathbb{N}, 8 < 1 + \sqrt{60}, 8< \dfrac{3+\sqrt{241}}{2} < 10,\) получим единственное натуральное решение двойного неравенства: \(n = 9.\) Тогда число стульев за столом равно \(2n = 18,\) а количество стульев, разделяющих Петю и Васю, \(K_B = (n-1)^2 - 60 = 64 - 60 = 4.\)

Ответ: \(18\) стульев, \(4\) стула.