Таня взяла список из ста чисел \(1, 2, 3, \ldots , 100\) и вычеркнула несколько из них. Оказалось, что какие бы два числа из оставшихся Таня ни взяла в качестве \(a\) и \(b\), уравнение \(x^2 + ax + b = 0\) имеет хотя бы один действительный корень. Какое наибольшее количество чисел могло остаться не вычеркнутым?

Решение

Уравнение \(x^2 + ax + b = 0\) имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант \(D = a^2 - 4b\) неотрицателен. Значит, любые два из оставшихся чисел должны удовлетворять неравенству \(a^2 \geqslant 4b\).

И вот тут самая важная мысль: чем меньше мы возьмём \(a\) и чем больше мы возьмём \(b\), тем «сложнее» этому неравенству будет выполняться! Другими словами, если оно выполняется, когда \(a\) \(-\) наименьшее из чисел, а \(b\) \(-\) наибольшее, то и для любых пар чисел оно будет выполняться.

Пусть \(m\) \(-\) наименьшее из выбранных чисел, а \(M\) \(-\) наибольшее. Мы доказали неравенство \(m^2 \geqslant 4M\). Дальше решение можно заканчивать по разному. Покажем один из путей. Если \(M = 100\), то \(m^2 \geqslant 400\) и \(m \geqslant 20\) \(-\) таким образом, можно оставить \(81\) число: от \(20\) до \(100\). Докажем, что больше \(81\) числа оставить нельзя. Действительно, в противном случае \(M > m + 80,\) \(m < 20\) и для уравнения \(x^2 + mx + M = 0\)
\[D = m^2 - 4M < m^2 - 4\left( m + 80 \right) = m^2 - 4m - 320 = \left( m - 2 \right)^2 - 324 \leqslant 17^2 - 324 < 0,\]
значит, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, чисел не может быть больше \(81\) (а \(81\) число оставить можно: от \(20\) до \(100\)).

Ответ: \(81\).