Коттеджный посёлок имеет размеры \(n \times m\) одинаковых квадратных участков. Собственники по очереди начали огораживать свои участки забором. Стоимость части забора между любыми двумя соседними участками составила \(10\) тысяч рублей и её полностью нёс тот сосед, который огораживал свой участок первым (расходы не делились между соседями, то есть некоторые могли вообще ничего не потратить). В итоге все участки оказались огорожены забором с четырёх сторон.

Могло ли оказаться, что в итоге поровну жителей потратило на забор по \(0, 10, 30\) и \(40\) тысяч рублей, а остальные — по \(20\) тысяч?

Решение

\(\textbf{Решение 1.}\)

Предположим, что описанная в условии ситуация возможна. Пусть по \(0\), \(10\), \(30\) и \(40\) тысяч рублей потратили по \(x\) жителей, а по \(20\) тысяч \(-\) \(y\) жителей. Всего жителей тогда \(4x + y = mn\).

Cуммарно жители потратили на заборы \( \left( 0+10+30+40 \right) x + 20y = 80x + 20y \) тысяч рублей. С другой стороны, они построили заборы на каждом отрезке, ограничивающем участки. Посчитаем, сколько всего таких отрезков. Карта посёлка \(-\) это таблица \(m \times n\) клеток-участков. В каждой из \(m\) «строк» этой карты есть по \(n + 1\) вертикальному отрезку, в каждом из \(n\) «столбцов» \(-\) по \(m + 1\) горизонтальному отрезку. Следовательно, всего отрезков \( m\left( n + 1 \right) + n\left( m + 1 \right) = 2mn + m + n\), и на строительство заборов на них жители потратили \(20mn + 10m + 10n\) тысяч рублей.

Но полученные два равенства противоречат друг другу:\[20mn = 20\left( 4x + y \right) = 80x + 20y = 20mn + 10m + 10n > 20mn.\]

\(\textbf{Решение 2.}\)

Разобьём часть жителей на пары: того, кто потратил \(40\) тысяч, поставим в пару с не потратившим ничего, а того, кто потратил \(30\) тысяч \(-\) в пару с потратившим \(10\). Тогда каждая пара заплатила за заборы \(40\) тысяч, а все остальные по \(20\) тысяч \(-\) то есть, в среднем каждый житель посёлка заплатил \(20\) тысяч.

С другой стороны, пусть каждый построит левый и верхний забор своего участка. Тогда каждый уже потратил по \(20\) тысяч, но правые и нижние заборы по краям посёлка пока ещё не построены (и на них жителям все равно придётся «скинуться»). Поэтому в среднем каждый потратит больше \(20\) тысяч рублей \(-\) противоречие.

Ответ: Нет.