В маленьком доме в Португалии пол выложен из четырёхугольных плиток одинаковой формы и размера (см. рис.).

Найдите все четыре угла плитки. Ответ дайте в градусах.

Решение

В центре мозаики \(6\) одинаковых углов с общей вершиной образуют полный угол, значит, каждый из них равен \(360^{\circ} : 6 = 60^{\circ}\).

Несколько правее полный угол в \(360^{\circ}\) складывается из уже известного нам угла \(60^{\circ}\) и ещё двух равных между собой \(-\) следовательно, они составляют по \(150^{\circ}\).

Аналогичным образом вычисляется ещё один угол: он равен \[\left( 360^{\circ} - 150^{\circ} \right) : 2 = 105^{\circ}.\]

Последний угол плитки можно вычислить либо воспользовавшись тем, что \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-vnutrennih-uglov-vypuklogo-chetyrehugolnika/}{\text{сумма углов четырёхугольника равна \(360^{\circ}\)}}\) , либо же с помощью ещё одной вершины мозаики:
\[\left( 360^{\circ} - 150^{\circ} - 2 \cdot 60^{\circ} \right) : 2 = 45^{\circ}.\]

Таким образом, углы плитки равны \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(105^{\circ}\) и \(150^{\circ}\).

\(\textbf{Комментарии. 1)}\) Заметим также, что такую плитку одна из диагоналей делит на равносторонний и прямоугольный равнобедренный треугольники.

\(\textbf{2)}\) Разбиение плоскости на многоугольники без дырок и наложений называется \(\textit{замощением}\). Замощения бывают как \(\textit{периодические}\) (есть два разных направления, при сдвиге в каждом из которых замощение совмещается само с собой) и \(\textit{непериодические}\) (таких сдвигов нет). В задаче приведена часть непериодического замощения плоскости такими четырехугольными плитками, которое придумал Gabor Damasdi. Но такими четырёхугольниками можно замостить плоскость и периодически (придумайте, как \(-\) комментарий \(1\) поможет). А бывает ли многоугольник, которым можно замостить плоскость только непериодически? Это не известно!

Ответ: \(60^\circ, 150^\circ, 45^\circ, 105^\circ\).