Дано целое число \(h > 1\). Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) \(\textit{хорошей}\), если сумма её числителя и знаменателя равна \(h\). Скажем, что число \(h\) \(\textit{замечательное}\), если каждую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше \(h\), можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания.
Докажите, что \(h\) замечательное тогда и только тогда, когда оно простое.

(Напомним, что у обыкновенной дроби числитель целый, а знаменатель натуральный.)

Решение

\(\textbf{1)}\) \(h\) \(-\) простое число. Пусть \(n\)\(-\) натуральное число, меньшее \(h\). Поскольку числа \(n\) и \(h - n\) взаимно просты, найдутся целые \(a\) и \(b\), при которых \(a\left( h - n \right) + bn = 1\). При этом \(a\dfrac{h - n}{n} + b\left( h - 1 \right)\dfrac{1}{h - 1} = \dfrac{1}{n}\), то есть дробь \(\dfrac{1}{n}\) является алгебраической суммой хороших дробей. Этого достаточно, чтобы получить все дроби со знаменателем \(n\), следовательно, \(h\) \(-\) замечательное число.
\(\textbf{2)}\) \(h\) \(-\) составное число. Пусть \(p\) \(-\) один из простых делителей числа \(h\) и \(p^k < h \leqslant p^{k + 1}\). Заметим, что хорошая дробь со знаменателем, кратным \(p^k\), имеет вид \(\dfrac{h - ap^k}{ap^k}\) \(\left( 0 < a < p \right)\), и после сокращения на \(p\) её знаменатель не кратен \(p^k\). Значит, всякую хорошую дробь можно записать в виде дроби со знаменателем, не кратным \(p^k\). Но тогда дробь \(\dfrac{1}{p^k}\) не является алгебраической суммой хороших дробей, то есть \(h\) \(-\) не замечательное число.