Диагонали вписанного четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Внутри треугольника \(AOB\) выбрана такая точка \(K\), что прямая \(KO\) является биссектрисой угла \(CKD\). Луч \(DK\) вторично пересекает описанную окружность треугольника \(COK\) в точке \(L\), а луч \(CK\) вторично пересекает описанную окружность треугольника \(DOK\) в точке \(M\). Найдите отношение площадей треугольников \(ALO\) и \(BMO\).

Решение

Пусть \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы окружностей, описанных около треугольников \(COK\) и \(DOK\) соответственно. Введём обозначение: \(\alpha = \angle{CKO} = \angle{DKO} \).
Заметим, что \( \angle{LKO} = 180^{\circ} - \angle{DKO} = 180^{\circ} - \angle{CKO} = \angle {MKO}. \)
Тогда, применяя \( \href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теорему синусов}} \) для треугольников \(LKO\) и \(MKO\) получаем:
\[ \frac{LO}{\sin \alpha} = 2 r_1 ,\] \[ \frac{MO}{\sin \alpha} = 2 r_2 .\] Значит, поделим одно выражение на другое и получим: \( \frac{LO}{MO} = \frac {r_1}{r_2} .\)

По условию четырехугольник \(ABCD \) вписанный, а это значит что \( \angle{CBD} = \angle{CAD} \) и \( \angle{ADB} = \angle{BCA} \) так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Значит треугольники \( AOD\) и \(BOC\) подобны по двум углам. Тогда имеем:
\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC}. \] И снова применяя \( \href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теорему синусов}} \) для тругольников \(DOK\) и \(COK\) получаем:
\[ CO = 2r_1 \sin{\alpha} ,\] \[ DO = 2r_2 \sin{\alpha} .\] Подставляя эти соотношения в равенство выше имеем:
\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac {r_2}{r_1}.\] Теперь не сложно заметить, что \( \frac{LO}{MO} \cdot \frac{AO}{BO} = 1 \Leftrightarrow LO \cdot AO = MO \cdot BO. \)

Заметим, что \( \angle KMO = \angle KDO \) и \( \angle KLO = \angle KCO \), так как вписанные и опираются на одну и ту же дугу. Значит треугольники \( MCO \) и \(DLO\) подобны. Также \( \angle COM = \angle COL + \angle LOM = \angle DOM + \angle LOM = \angle DOL .\) Значит:
\( \angle AOL = \angle AOM + \angle LOM = 180^{\circ} - \angle COM + \angle LOM = 180^{\circ} - \angle DOL + \angle LOM = \angle BOL + \angle LOM = \angle BOM. \)

Таким образом, \( S_{AOL} = \frac{1}{2} \cdot LO \cdot AO \cdot \sin{\angle AOL} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot BO \cdot \sin{\angle BOM} = S_{BOM} . \)

Значит \( \frac{S_{AOL}}{S_{BOM}} = 1. \)

Ответ: 1