Докажите, что существует бесконечное можество троект натуральных чисел \(x,\) \(y \) \(z,\) удовлетворяющих соотношениию \(x^2+y^2=z^{2022}.\)

Решение

Возьмем пифагорову троийку, например, \((3; 4; 5),\) и будем рассматривать соотношения \((3t)^2 + (4t)^2 = (5t)^2\) для различных натуральных \(t.\) Если положить
\[x^2 =9t^2, y^2 =16t^2, z^{2022} =25t^2,\]

то взяв число \(z,\) делящееся на 5, т.е. \(z = 5n\) для натурального \(n\), получим \(25t^2 = 5^{2022} n^{2022} \Leftrightarrow t = 5^{1010} n^{1011}.\) Таким образом, при любом натуральном \(n\) числа вида \(x = 3t,\) \(y = 4t,\) где \(t = 5^{1010} n^{1011},\) и \(z = 5n\) удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \(\).