Решите уравнение: \(xy' - y = (x+y)\cdot\ln{\frac{x+y}{x}}.\)

Решение

Разделим обе части на x:
\begin{equation*}
xy' - y = (x+y)*\ln{\frac{x+y}{x}} |:x
\end{equation*}
\begin{equation*}
y' - \frac{y}{x} = (1+\frac{y}{x})*\ln{(1+\frac{y}{x})}
\end{equation*}
Воспользуемся заменой:
\begin{equation*}
t = \frac{y}{x}
\end{equation*}
Тогда:
\begin{equation*}
\mathrm{d}y = t\mathrm{d}x + x\mathrm{d}t
\end{equation*}
Распишем производную и подставим:
\begin{equation*}
y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{t\mathrm{d}x + x\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
t\mathrm{d}x + x\mathrm{d}t = (1+t)\ln{(1+t)}\mathrm{d}x + t\mathrm{d}x
\end{equation*}
\begin{equation*}
x\mathrm{d}t = (1+t)\ln{(1+t)}\mathrm{d}x
\end{equation*}
Разделим крест накрест и возьмем интеграл от обоих частей:
\begin{equation*}
\int \frac{\mathrm{d}t}{(1+t)\ln{(1+t)}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}
\end{equation*}
Вносим 1/(1+t) под знак дифференциала:
\begin{equation*}
\int \frac{\mathrm{d}\ln{(1+t)}}{\ln{(1+t)}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\ln{(\ln{(1+t)})} = \ln{x} + C
\end{equation*}
\begin{equation*}
\ln{(1+t)} = Cx
\end{equation*}
Подставим t:
\begin{equation*}
\ln{(1+\frac{y}{x})} = Cx
\end{equation*}

Ответ: \begin{equation*} \ln{(1+\frac{y}{x})} = Cx \end{equation*}.