Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 3 и 0, равна \( \underbrace{777 \ldots 77}_{2022} \). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?

Решение

Пусть \(M=777 \ldots 77=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\), где числа \(a_{k}\) записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа \(M\) равна \(2022 \cdot 7\) и делится на 3 . Тогда

\[
\frac{1}{3} M=\underbrace{259259 \ldots 259}_{2022 \text { цифры }}=c_{1}+c_{2}+\ldots+c_{n},
\]

где числа \(c_{k}=\frac{1}{3} a_{k}\) записываются только нулями и единицами. Поскольку \(\frac{1}{3} M\) содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в этой сумме равно 9. Эти слагаемые легко находятся для числа \(259: 259=2 \cdot 111+3 \cdot 11+4 \cdot 1\) (В точности \(2 + 3 + 4 = 9 \) слагаемых). Умножая на три, получим: \(777=2 \cdot 333+3 \cdot 33+4 \cdot 3\). Теперь «периодическим» повторением этой записи получаем:

\[
\underbrace{777 \ldots 77}_{2022}=2 \cdot \underbrace{333 \ldots 33}_{2022}+3 \cdot \underbrace{330330 \ldots 33}_{2021}+4 \cdot \underbrace{300 \ldots 300}_{2021}.
\]

Ответ: \(9\) слагаемых.