Дан куб \(ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\) с ребром равным \(x\). \(S\) \(-\) сфера, вписанная в каркас этого куба (то есть, касающаяся всех его рёбер). Точка \(M\) \(-\) середина ребра \({B}_1{C}_1\). Прямая \(AM\) вторично пересекает сферу \(S\) в точке \(X\). Найдите \(AX\).

Решение

По \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{\text{теореме Пифагора}}\) \(AM = \sqrt{\mathstrut x^2+x^2+\dfrac{x^2}{4}} = \frac{3x}{2}\) (здесь данная теорема применяется два раза: сначала для треугольника \(ABR\), а затем для треугольника \(ARM\)).
Пусть \(K\) \(-\) середина ребра \(AA_1\), она же точка касания сферы. \(AK = \frac{x}{2}\). По \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-kvadrate-kasatelnoj/}{\text{теореме о секущей и касательной к окружности}}\) \(AK^2 = AX\cdot AM,\) \(AX=\dfrac{AK^2}{AM} = \dfrac{x}{6}\).

Ответ: \(\dfrac{x}{6}\).