У прямого кругового конуса длина образующей равна \(5\), а диаметр основания равен \(8\).

Найдите наибольшую площадь треугольного сечения, которая может получиться при пересечении конуса плоскостью.

Решение

Две из трёх сторон треугольного сечения конуса \(-\) это образующие, а треугольник с двумя сторонами \(5\) имеет максимальную площадь, когда угол между этими сторонами равен \(90^{\circ}\). Действительно, если сложить из двух таких треугольников ромб, то легко понять, что его площадь максимальна, когда его угол прямой (см. рисунок 2).

Осталось доказать, что у нашего конуса есть сечение с прямым углом. Диаметр основания равен \(8\), поэтому в нём можно найти хорду длины \(5\sqrt{2}\) (\(\sqrt{2} < 1{,}5\), поэтому \(5\sqrt{2} < 7{,}5 < 8\)). Проведём сечение через эту хорду и вершину конуса \(-\) получится треугольник со сторонами \(5\), \(5\), \(5\sqrt{2}\). Так как \(5^2 + 5^2 = \left( 5\sqrt{2} \right)^2\), этот треугольник будет прямоугольным по \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora-obratnaya/}{\text{обратной теореме Пифагора}}\), а его площадь равна \( \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\).

Ответ: \(12{,}5\).