На клетках шахматной доски размером \(8\times 8\) случайным образом расставлены \(4\) одинаковых фигуры.
Найти вероятность того, что три из них будут находиться либо на одной горизонтали, либо на одной вертикали, либо на одной из двух главных диагоналей.

Решение

Пространство исходов опыта \(-\) выбор произвольных четырех клеток из имеющихся \(64\). Тогда общее число равновозможных опытов \(n = C_{64}^4 = \dfrac{64!}{4! \cdot 60!} = \dfrac{61 \cdot 62 \cdot 63 \cdot 64}{2 \cdot 3 \cdot 4}\) (размещение четырех одинаковых фигур на \(64\) клетках).

Благоприятный исход заключается в том, что три одинаковые фигуры находятся на одной линии и одна не на этой линии, либо четыре одинаковых фигуры на одной линии. Тогда число благоприятных исходов для одной линии (горизонтали, вертикали или главной диагонали) равно \(C_8^3 \cdot C_{56}^1 + C_8^4 = \dfrac{8!}{3!\cdot 5!}\cdot \dfrac{56!}{1!\cdot 55!} + \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{6\cdot 7 \cdot 8 \cdot 56}{2\cdot 3} + \dfrac{5 \cdot 6\cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 2 \cdot 7 \cdot 229.\)
Всего имеется \(18\) различных линий (горизонталей, вертикалей и главных диагоналей). Итого число благоприятных исходов равно \(m = 18 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 229.\) Искомая вероятность есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
\[P(A) = \dfrac{m}{n} = \dfrac{18 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 229 \cdot 4!}{61 \cdot 62 \cdot 63 \cdot 64} = \dfrac{3\cdot229}{2\cdot61\cdot62} = \dfrac{687}{7564}.\]

Ответ: \(\dfrac{687}{7564}\).