\(P(x) \) \(-\) кубический многочлен с рациональными коэффициентами. Его значение в точке \(\sqrt{11}\) составляет \(5,\) а значение его производной в этой же точке равно 66. Найдите все коэффициенты многочлена.

Решение

Пусть \(P(x) = ax^3+bx^2+cx+d.\) Тогда \(P(\sqrt{11}) = 11a\sqrt{11}+11b+c\sqrt{11}+d = (11a+c)\sqrt{11} + 11b + d = 5.\) Это число может быть рациональным только если \((11a+c)\sqrt{11}=0,\) откуда \(11a+c=0\) и \(11b+d=5\).
Далее, \(P'(x)=3ax^2+2bx+c,\) значит \(P'(\sqrt{11})=33a+2b\sqrt{11}+c=66,\) откуда по аналогичным соображениям \(b=0\) и \(33a+c=66\). Подставляя \(b=0\) в полученное ранее уравнение \(11b+d=5\) получаем \(d=5\). Подставляя \(c=-11a\) в уравнение \(33a+c=66\) получаем \(22a=66,\) откуда \(a=3\) и \(c=-33\).

Ответ: \(P(x)=3x^3-33x+5\).