Решить уравнение \(\left(\sin^4 5x + 1\right)\left(\sin^4 3x + 1\right) = 4\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x\).

Решение

Выполним равносильные преобразования в исходном уравнении:
\begin{gather*}
\sin^4 5x \cdot \sin^4 3x + \sin^4 5x + \sin^4 3x + 1 - 4\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x = 0
\quad \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
\left(\sin^4 5x \cdot \sin^4 3x - 2\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x + 1\right) + \\ + \left(\sin^4 5x - 2\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x + \sin^4 3x\right) = 0
\quad \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
\left(\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x - 1\right)^2 + \left(\sin^2 5x - \sin^2 3x\right)^2 = 0.
\end{gather*}
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое
слагаемое равно нулю. Тогда
\begin{gather*}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin^2 5x \cdot \sin^2 3x - 1 = 0, \\
\sin^2 5x - \sin^2 3x = 0.
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \\
\\
\Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
|\sin 5x| = 1, \\
|\sin 3x| = 1.
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \\
\\
\Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
5x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z},\\ \\
3x = \dfrac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}.
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \\
\\
\Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z},\\ \\
x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}.
\end{array}\right.
\end{gather*}
Далее находим пересечение серий
\[
\dfrac{\pi}{10} + \dfrac{\pi n}{5} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi m}{3}
\Leftrightarrow
3n - 5m = 1
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
n = 2 + 5k,\\
m = 1 + 3k,
\end{array} \quad k \in \mathbb{Z}. \right.
\]
Окончательно получаем \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.\)

Замечание: при нахождении пересечения серий решали линейное диофантово уравнение первой степени (см. \(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-diofantovyh-uravnenij/}{\text{методы решения диофантовых уравнений}}\)).

Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\).