Функции \(p\) и \(q\) определены на множестве натуральных чисел, не
превосходящих \(400\), и принимают натуральные значения, не превосходящие \(200\).
Докажите, что уравнение
\(p(x) − p(y) = q(x) − q(y)\)
имеет решение в натуральных числах \(x \neq y\).

Решение

Введем функцию \(f(x) = p(x) - q(x)\).
\begin{equation*}
p(x) - p(y) = q(x) - q(y) \Leftrightarrow p(x) - q(x) = p(y) - q(y) \Leftrightarrow f(x) = f(y).
\end{equation*}
Всего есть 399 возможных значений функции \(f(x)\) от -199 до 199. При этом всего 400 аргументов для функции \(f(x)\). По принципу Дирихле существует значение функции \(f(x)\), которое принимается при 2 разных значениях аргумента, значит корень нашего уравнения существует.