Функция \(f\) для всех действительных \(x\), \(y\) удовлетворяет неравенствам \(f(x+y) \geqslant f(x)+f(y)\) и \(f(x) \geqslant x\). Найдите все такие функции \(f(x)\).

Решение

Из неравенства \(f(x) \geqslant x\) при \(x=0\) следует, что \(f(0) \geqslant 0\), а из второго неравенства при \(y=0\) имеем:
\[f(x)=f(x+0) \geqslant f(x)+f(0),\]
то есть \(0 \geqslant f(0)\), и значит, \(f(0)=0\).

Отсюда и из неравенства \(f(x+y) \geqslant f(x)+f(y)\) при \(y=-x\) получим:

\[
0=f(0)=f(x+(-x)) \geqslant f(x)+f(-x) \quad \Longrightarrow \quad-f(-x) \geqslant f(x).
\]

Снова используем первое неравенство \(f(x) \geqslant x\) теперь для \(-x\), получим:
\[f(-x) \geqslant-x \text{ или } x \geqslant-f(-x).\]
Значит,

\[
x \geqslant-f(-x) \geqslant f(x) \quad \Longrightarrow \quad x \geqslant f(x).
\]

Из условия \(f(x) \geqslant x\) и полученного неравенства следует, что \(f(x)=x\) для всех \(x\).

Ответ: \(f(x)\equiv x\).