Конфигурационная

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Обязательно ли тогда этот тетраэдр правильный?

Решение

Пусть \(r\) \(-\) радиус, \(O\) \(-\) центр вписанной сферы \(S\) тетраэдра \(ABCD\). Пусть объем \(V_{OABC}\) меньше четверти объема \(V_{ABCD}\) тетраэдра. Тогда \(r\) меньше четверти высоты \(h_D\), опущенной на грань \(ABC\), то есть середина этой высоты не может лежать на \(S\). Противоречие.

Отсюда видно, что все высоты равны \(4r\), центр \(O\) лежит на пересечении высот и делит их в отношении \(3 : 1\), считая от вершины. Таким образом, \(O\) \(-\) пересечение плоскостей, параллельных граням и делящим высоты в отношении \(3 : 1\). Но это пересечение совпадает с центром масс вершин тетраэдра, то есть основания высот совпадают с точками пересечения медиан граней.

Пусть \(K\) \(-\) точка пересечения медиан треугольника \(ABC\). Тогда \(AO \perp BCD\), прямая \(AK\) \(-\) проекция прямой \(AO\) на грань \(ABC\). По \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-tryoh-perpendikulyarah/}{теореме}\) о трёх перпендикулярах \(AK \perp BC\), то есть все высоты граней совпадают с медианами. Следовательно, все грани \(-\) равносторонние треугольники.

Ответ: Обязательно.