Найти экстремум функции и построить её график:
\(
y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}.
\)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения D \( \in \mathbb{R} \)

2) Нули
\(x = 0\) при \(y = \frac{(0-1)^2}{0+1} = 1\)
\(y = 0 \rightarrow x = 1 \)

3) Функция общего вида
\( x = 2 \rightarrow y = \frac{(2-1)^2}{4+1} = \frac{1}{5} \)
\( x = -2 \rightarrow y = \frac{(-2-1)^2}{4+1} = \frac{9}{5} \)

4) Возрастание/убывание
\( y' = \frac{2(x-1)(x^2+1)-2x(x-1)^2 }{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2}{(x^2+1)^2)} \)

\( y' = 0\) при \(x = \pm 1 \rightarrow y = 0; y = 2\)

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x \in (- \infty ; -1) \cup (1; +\infty) \)

\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in (-1;1) \)

Точки \(x = -1; y = 2\) и \(x=1; y=0 \) - экстремумы.

5) Асимптоты

а) вертикальных нет

б) горизонтальные:
\( \lim_{x\to \infty +} \frac{(x-1)^2}{x^2 +1} = \lim_{x\to \infty +} \frac{x^2-2x+1}{x^2+1} = 1\)
\( \lim_{x\to \infty -} \frac{(x-1)^2}{x^2 +1} = -1 \)

в) наклонных нет
\( k =\lim_{x\to \infty} \frac{(x-1)^2}{(x^2+1)x} = \frac{\infty}{\infty} = 0 \)

Ответ: Экстремумы: \(x = -1; y = 2\) и \(x=1; y=0 \).