Решите неравенство \(\log_{\sqrt{6 - x}}{(6 + x)} + \log_{\sqrt{6 + x}}{(6 - x)} \leqslant 5.\)

Решение

Сначала вынесем степень из оснований логарифмов:
\[\log_{\sqrt{6 - x}}{(6 + x)} + \log_{\sqrt{6 + x}}{(6 - x)} \leqslant 5 \iff\] \[2\log_{6 - x}{(6 + x)} + 2\log_{6 + x}{(6 - x)} \leqslant 5.\] Это равносильный переход, так как бывшие подкоренные выражения всё ещё должны быть неотрицательными и отличными от \(1,\) ибо стоят в основании логарифмов.

По свойствам логарифма \[\hspace{0.2cm}\log_{6 + x}{(6 - x)} = \frac{1}{\log_{6 - x}{(6 + x)}},\hspace{0.2cm}\] поэтому:
\[\frac{2\log^2_{6 - x}{(6 + x)} - 5\log_{6 - x}{(6 + x)}+ 2}{\log_{6 - x}{(6 + x)}} \leqslant 0 \iff \left[
\begin{gathered}
\log_{6 - x}{(6 + x)} < 0\\
\frac12 \leqslant \log_{6 - x}{(6 + x)} \leqslant 2
\end{gathered}
\right.\]

1) Если \(6 - x > 1\) (или что то же самое \(x < 5\)), то логарифм по такому основанию - возрастающая функция, поэтому:

\[\left[
\begin{gathered}
0 < 6 + x < 1\\
\sqrt{(6 - x)} \leqslant 6 + x \leqslant (6 - x)^2
\end{gathered}
\right.\iff \left[
\begin{gathered}
-6 < x < -5 \\
-3 \leqslant x \leqslant 3
\end{gathered}
\right.\]

(т.к. \(6 + x - \sqrt{6 - x}\) монотонно возрастает при \(x < 5\), а равенство нулю достигается при \(x = -3\); \(6 + x - (6 - x)^2\) так же монотонно возрастает и равняется нулю при \(x = 3\)).
\[\left[
\begin{gathered}
-6 < x < -5 \\
-3 \leqslant x \leqslant 3
\end{gathered}
\right.\] 2) Если же \(0 < 6 - x < 1\) (или что то же самое \(5 < x < 6\)), то то логарифм по такому основанию - убывающая функция, поэтому: \[\left[
\begin{gathered}
6 + x > 1\\
\sqrt{(6 - x)} \geqslant 6 + x \geqslant (6 - x)^2
\end{gathered}
\right.\iff x > -5.\] Пересекая с \(5 < x < 6,\) получаем этот же интервал.
И окончательно: \[\left[
\begin{gathered}
-6 < x < -5 \\
-3 \leqslant x \leqslant 3\\
5 < x < 6
\end{gathered}
\right.\]

Ответ: \((-6, -5) \cup [-3, 3] \cup (5, 6)\).