Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) расположены в указанном порядке на окружности таким образом,
что длины дуг \(AD\) и \(CD\) равны 4, отношение длин дуг \(AB\) и \(BC\) равно \(3/7\), а также равны
длины отрезков \(AD\) и \(CL\), где \(L\) – точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\). Найдите длину дуги
\(AB\).

Решение

\(\triangle ADC\) и \(\triangle CDL\) равнобедренные. Пусть \(\angle DAC = \angle ACD = 2\alpha\). Тогда \(\angle DLC = \angle LDC = \frac{\pi}{2} - \alpha\), \(\angle ADB = \frac{\pi}{2}-3\alpha\). Так как \[\dfrac{|\smile AB|}{|\smile BC|}=\dfrac{\frac{\pi}{2}-3\alpha}{\frac{\pi}{2}-\alpha}=\dfrac{3}{7} \Rightarrow \alpha=\dfrac{(1-\frac{3}{7})\pi}{6-\frac{6}{7}}.\]
Тогда \[\dfrac{|\smile AB|}{|\smile AD|}=\dfrac{\frac{\pi}{2}-3\alpha}{2\alpha}=\dfrac{\frac{\pi}{2}- \dfrac{(3-\frac{9}{7})\pi}{6-\frac{6}{7}}}{\dfrac{(2-\frac{6}{7})\pi}{6-\frac{6}{7}}}=\dfrac{\frac{12}{7}}{4-\frac{12}{7}}\Rightarrow |\smile AB|=\dfrac{\frac{3}{7}}{1-\frac{3}{7}}\cdot4 = 3.\]

Ответ: 3.