Решите уравнение \(5 \sin x +3 \cos 2x =4\).

Решение

Воспользуемся формулой \( \cos 2 \alpha = 1-2 \sin^2 \alpha\):
\begin{gather*}
\quad
5 \sin x +3 \cos 2x =4.
\quad\Leftrightarrow \ \\
\ \\
\Leftrightarrow\quad
5 \sin x +3-6 \sin^2 x =4.
\quad\Leftrightarrow \ \\
\ \\
\Leftrightarrow\quad
6 \sin^2 x - 5 \sin x +1=0.
\quad\Leftrightarrow \ \\
\ \\
\Leftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\sin x =\dfrac{1}{2},\\
\sin x = \dfrac{1}{3}.\\
\end{array}
\right.
\quad\Leftrightarrow \ \\
\ \\
\Leftrightarrow \quad
\left[
\begin{array}{l}
x=(-1)^k \dfrac{\pi}{6} +k \pi ,\\
x=(-1)^k \arcsin \left(\dfrac{1}{3}\right) +k \pi ,\\
\end{array}
\right. \quad
k \in \mathbb{Z}.
\end{gather*}

Ответ: \( \left[ \begin{array}{l} x=(-1)^k \dfrac{\pi}{6} +k \pi ,\\ x=(-1)^k \arcsin \left(\dfrac{1}{3}\right) +k \pi ,\\ \end{array} \right. \quad k \in \mathbb{Z}.\).