Высота \(BD\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекается с его другими высотами в точке \(H\). Точка \(K\) лежит на отрезке \(AC\) так, что величина угла \(BKH\) максимальна. Найдите \(DK\), если \(AD=2,\,DC=3\).

Решение

\(Первый\) \(способ\).
Чем больше угол, тем больше его тангенс. Поэтому условие максимальности угла BKH можно заменить на условие максимальности его тангенса.
\begin{gather*}\mathop{\mathrm{tg}} \angle BKH =\mathop{\mathrm{tg}}(\angle BKD -\angle DKH) =\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} \angle BKD -\mathop{\mathrm{tg}} \angle DKH}{1+\mathop{\mathrm{tg}} \angle BKD \cdot \mathop{\mathrm{tg}} \angle DKH} =\\ \dfrac{\dfrac{BD}{DK} - \dfrac{DH}{DK}}{1+\dfrac{BD}{DK}\cdot\dfrac{DH}{DK}} =
\dfrac{(BD-DH)\cdot DK}{DK^2 + BD\cdot DH}.\end{gather*}

Представим выражение в качестве функции \(y(x)\), где \(y=\mathop{\mathrm{tg}} \angle BKH\), \(x=DK\). Получим \(y=\dfrac{(BD-DH)x}{x^2 + BD\cdot DH}\).

Первый вариант. \(\dfrac{(BD-DH)x}{x^2 + BD\cdot DH} \leqslant \dfrac{(BD-DH)x}{\min(x^2 + BD\cdot DH)}\). По неравенствам о средних: \(x^2 + BD\cdot DH \geqslant 2\sqrt{x^2\cdot BD\cdot DH}\). Равенство достигается при \(x^2 = BD\cdot DH\Rightarrow x=\sqrt{BD\cdot DH}\).

Второй вариант. Найдем маскимум функции с помощью производной при \(x\geqslant 0\): \(y^\prime = \dfrac{(BD-DH)(BD\cdot HD-x^2)}{(x^2 + BD\cdot DH)^2}\). Из анализа производной: \(x_{max}= \sqrt{BD\cdot DH} = DK\).

Теперь найдем \(BD\cdot DH\). Рассмотрим рис.1. Углы \(\angle HAD\) и \(\angle DBC\) равны как углы подобных прямоугольных треугольников \(\triangle AMC\) и \(\triangle BDC\) соответственно. \[\mathop{\mathrm{tg}} \angle HAD=\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{DC}{BD}=\mathop{\mathrm{tg}} \angle DBC;\]
\[BD\cdot DH=AD\cdot DC.\]

Таким образом, \(DK=\sqrt{BD\cdot DH}=\sqrt{AD\cdot DC}=\sqrt{2\cdot 3}=\sqrt{6}.\)

\(Второй\) \(способ\).
Опишем окружность около треугольника \(BKH\). Если эта окружность пересекает отрезок \(AC\) ещё в одной точке \(X\), то, например, для точки \(Y\) - середины отрезка \(KX\) величина угла \(BKH\) меньше величины угла \(BYH\). Значит, окружность пересекает отрезок \(AC\) в единственной точке \(K\), то есть \(AC\) - касательная. По свойству отрезков касательной и секущей, проведенной из одной точки \(D\) получаем
\[DK^2=DH\cdot DB=AD\cdot \mathop{\mathrm{tg}} \angle CAM\cdot DC\cdot\mathop{\mathrm{tg}} \angle MCA=AD\cdot DC =6\]

Ответ: \(\sqrt{6}\).