Решите уравнение \(7 \sin x +2 \cos 2x =5\).

Решение

Воспользуемся формулой \( \cos 2 \alpha = 1-2 \sin^2 \alpha\):\[
7 \sin x +2 \cos 2x =5 \Longleftrightarrow\]\[
\Longleftrightarrow 7 \sin x +2-4 \sin^2 x =5 \Longleftrightarrow\]\[
\Longleftrightarrow 4 \sin^2 x - 7 \sin x +3=0 \Longleftrightarrow\]\[
\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\sin x =1\\
\sin x = \frac{3}{4}\\
\end{array}
\right. \Longleftrightarrow\]\[\Longleftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x= \frac{\pi}{2}+2k \pi , \\
x=(-1)^k \arcsin \frac{3}{4} +k \pi , k \in \mathbb{Z}\\
\end{array}
\right.\]

Ответ: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{l} x= \frac{\pi}{2}+2k \pi , \\ x=(-1)^k \arcsin \frac{3}{4} +k \pi , k \in \mathbb{Z}\\ \end{array} \right.\\ \end{equation*}.