Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 6, 7, 8, 9, 10, ...,
если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить
числа \(8=2^3\), \(9 = 3^2\), \(16 = 4^2\), ...)?

Решение

<p>Пусть даны числа 1, 2, 3, ..., \(N\). Количество квадратов среди них равно \([\sqrt{N}]\), кубов - \([\sqrt[3]{N}]\), и чисел шестой степени - \([\sqrt[6]{N}]\). Поэтому количество чисел без полных квадратов и кубов в последовательности 1, 2, 3, ..., \(N\) выражается формулой: \(N-[\sqrt{N}]-[\sqrt[3]{N}]+[\sqrt[6]{N}]\).Так как в изначальной последовательности отсутствуют числа 2, 3, 5, то итоговое уравнение выглядит так: \[N-[\sqrt{N}]-[\sqrt[3]{N}]+[\sqrt[6]{N}] -3 =2022;\]
\[N-[\sqrt{N}]-[\sqrt[3]{N}]+[\sqrt[6]{N}] =2025.\]</p>
<p>Если \(N<2025 = 45^2\), то \(N-[\sqrt{N}]-[\sqrt[3]{N}]+[\sqrt[6]{N}] < 2025-([\sqrt{N}]+[\sqrt[3]{N}]-[\sqrt[6]{N}]) < 2025.\)</p>

<p>Если \(2025 = 45^2 \geqslant N < 46^2 = 2116\), то \(12^3 = 1728 < N < 13^3 = 2197\) и \(3^6=729 < N < 4^6 = 4096\).</p>

<p>Значит, \(N-[\sqrt{N}]-[\sqrt[3]{N}]+[\sqrt[6]{N}] = N - 45 -12 +3= N - 54 = 2025\). Тогда \(N=2079\).</p>

Ответ: 2079.