Найдите сумму всех целых \(a\), при которых неравенство \[(2-a)4^{\cos 2x}+2(a-5)\dfrac{1}{4^{\sin^2 x}}+1 < 0\]
выполнено для всех значений \(x\).

Решение

<p> \((2-a)4^{\cos 2x}+2(a-5)\dfrac{1}{4^{\sin^2 x}}+1 < 0 \Leftrightarrow (2-a)2^{2\cos 2x}+(a-5)2^{\cos 2x}+1 < 0\). После замены \(2^{\cos 2x}=t\) получим \(f(t)= (2-a)t^2+(a-5)t+1 < 0\), где \(t \in [\frac{1}{2}, 2]\). </p>
<p>\(a=2\) подходит.</p>
<p>Если \(a<2\), то достаточно, чтобы \(f(\frac{1}{2}) < 0\) и \(f(2)<0\). Тогда \(f(\frac{1}{2})=\dfrac{a-4}{4} < 0 \Leftrightarrow a<4\) и \(f(2)=-2a-1 < 0 \Leftrightarrow a> - \frac{1}{2}\). С учетом условия \(-\frac{1}{2} < a < 2\).</p>
<p>Если \(a>2\), то достаточно, чтобы \(f(\frac{1}{2}) < 0\), \(f(2)<0\) и вершина параболы \(t_0\) не принадлежала отрезку \([\frac{1}{2}, 2]\). Тогда \(f(\frac{1}{2})=\dfrac{a-4}{4} < 0 \Leftrightarrow a<4\), \(f(2)=-2a-1 < 0 \Leftrightarrow a> - \frac{1}{2}\) и c учетом условия \(2 < a < 4\), a вершина \(t_0=\dfrac{5-a}{2-a}=1+\dfrac{3}{2-a} \notin \left[\dfrac{1}{2}, 2\right]\) при \(2 < a < 4\).</p>
<p>Таким образом, \(a \in (-\frac{1}{2};4)\). Сумма целых чисел на отрезке равна 6.</p>

Ответ: 6.