Решите уравнение \(7 \sin x +4 \cos 2x =3\).

Решение

Воспользуемся формулой \( \cos 2 \alpha = 1-2 \sin^2 \alpha:\)
\begin{equation*}
7 \sin x +4 \cos 2x =3
\quad\Leftrightarrow\quad
7 \sin x +4-8 \sin^2 x =3
\quad\Leftrightarrow\quad
8 \sin^2 x - 7 \sin x -1=0
\quad\Leftrightarrow\quad
\end{equation*}

\begin{equation*}
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\sin x =1,\\
\sin x = - \frac{1}{8}, \\
\end{array}
\right.\\
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
x= \frac{\pi}{2}+2k \pi , \\
x=(-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{8} +k \pi ,\\
\end{array}
\right.\\
k \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

Ответ: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{l} x= \frac{\pi}{2}+2k \pi , \\ x=(-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{8} +k \pi ,\\ \end{array} \right.\\ k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}.