Решите неравенство: \(x^2+ \sin^2x +x^2 \cos x \leqslant 0\).

Решение

Преобразуем неравенство к виду \(x^2(1+ \cos x )+\sin^2x \leqslant 0\). \(x^2 \geqslant 0\), \(1+ \cos x \geqslant 0 \) и \( \sin^2x \geqslant 0\), поэтому неравенство выполняется только тогда, когда \(x^2(1+ \cos x )=0\) и \( \sin^2x =0\). Это выполняется только при \(x=0\), а также тогда, когда одновременно выполняются равенства \( \cos x =-1\) и \( \sin x =0\).

Отсюда получаем ответ: \(x=0, \quad x=\pi+2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x=0, \quad x=\pi+2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).