Фабрика производит \(n > 15 000\) ёлочных игрушек в месяц и является убыточной. Известно, что при изготовлении \(n\) ёлочных игрушек в месяц расходы фабрики на производство одной игрушки составляют не менее \(\dfrac{126000}{n}+9-\left|3-\dfrac{54000}{n}\right|\) рублей, а цена реализации каждой игрушки при этом не превосходит \(18-\dfrac{1}{4000}n\) рублей. Определите ежемесячный объём производства, при котором ежемесячные убытки могут быть снижены до наименьшего из возможных в данных условиях уровня. Вариант полной остановки производства исключён.

Решение

<p> Пусть \(f(n)\) убытки. Тогда \(f(n)\geqslant n\left(\dfrac{126000}{n}+9-\left|3-\dfrac{54000}{n}\right| - 18 + \dfrac{1}{4000}n\right)=126000-n\left|3-\dfrac{54000}{n}\right| - 9n + \dfrac{1}{4000}n^2.\)</p>

<p>Если \(n\geqslant 18000\). Тогда \(f(n)\geqslant 180000 - 12n + \dfrac{1}{4000}n^2\), \(n_{min} = \dfrac{12}{1/2000}=24000\). При этом \(f_{min}=36000\).</p>

<p>Если \(0 < n < 18000\). Тогда \(f(n)\geqslant 72000 - 6n + \dfrac{1}{4000}n^2\), \(n_{min} = \dfrac{6}{1/2000}=12000\). При этом \(f_{min}=36000\).</p>
<p>Таким образом, наименьшее значение расходов в месяц равно \(36000\) рублей и достигается при \(n=24000, 12000\).</p>

Ответ: 12000, 24000.