Решите неравенство \[(8x^3+4x^2-18x-9)\cdot\arccos(x-1) \leqslant \arccos(\dfrac{1}{4\cos 40^\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{4\cos 50^\circ}).\]

Решение

<p>Так как \(\dfrac{1}{4\cos 40^\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{4\cos 50^\circ}=\dfrac{1}{4\sin 50^\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{4\cos 50^\circ}=\dfrac{\sin 30^\circ\cdot \cos 50^\circ+\sin 50^\circ \cdot \cos 30^\circ}{2\sin 50^\circ \cos 50^\circ} = \dfrac{\sin 80^\circ}{\sin 100^\circ} = \dfrac{\sin 80^\circ}{\sin (180^\circ -80^\circ)}= 1\), то получается неравенство \[(8x^3+4x^2-18x-9)\cdot\arccos(x-1) \leqslant 0.\]</p>
<p>Неравенство определенно при \(|x-1|\leqslant 1\), поэтому \(x\in [0;2]\). На этом отрезке первый сомножитель \((8x^3+4x^2-18x-9)=(2x+1)(2x+3)(2x-3)\) положителен при \(x \in (\frac{3}{2};2]\) и неположителен при \(x\in [0;\frac{3}{2}]\). Второй сомножитель \(\arccos(x-1)\) всегда неотрицателен и равен нулю при \(x=2\).</p>
<p>Тогда \(x\in [0;\frac{3}{2}]\cup \left\{2\right\}\).</p>

Ответ: \(x\in \left[0;\dfrac{3}{2}\right]\cup \left\{2\right\}\).