Определить, пересекаются (и если пересекаются, то найти прямую пересечения) или параллельны плоскости
\(4x+5y-z+3=0 \quad \text{и}\quad 2x-3y+2z-7=0.\)

Решение

Условие параллельности: \(\dfrac{A}{A_1}=\dfrac{B}{B_1}=\dfrac{C}{C_1}\)

Подставим данные из условия: \(\dfrac{4}{2}\neq\dfrac{5}{-3}\neq\dfrac{-1}{2}\), следовательно, плоскости не параллельны.

Найдем прямую пересечения: \(l=\begin{cases}
4x+5y-z+3=0\\
2x-3y+2z-7=0
\end{cases}\)

Пусть y=0, тогда
\(=\begin{cases}
4x-z+3=0\\
2x+2z-7=0
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
4x-z+3=0\\
4x+4z-14=0
\end{cases}\)

\(z=3,4\) и \(x=0,1\)
\(\Rightarrow l=(0,1;0;3,4)\)

Направляющий вектор: \(\overrightarrow{y}=[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}]=\begin{vmatrix}
i&j&k\\
4&5&-1\\
2&-3&2
\end{vmatrix}=y(7;10;-22)\)

Уравнение прямой пересечения в каноническом виде:

\(\dfrac{x-0,1}{7}=\dfrac{y-0}{10}=\dfrac{z-3,4}{-22}.\)

Ответ: Прямые пересекаются; уравнение прямой пересечения: \(\dfrac{x-0,1}{7}=\dfrac{y-0}{10}=\dfrac{z-3,4}{-22}\).