Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства \[|x^3+2x^2+x+a|+|x^3-2x^2+x-a| < 4x^2+8x\] представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.

Решение

<p> Рассмотрим неравенство \(|u|+|v| \geqslant |u+v|\). Если \(u\) и \(v\) имеют одинаковые знаки или один из них принимает нулевое значение, то в выражении достигается равенство, иначе строгое неравенство. Чтобы и в последнем случае достигалось равенство, необходимо изменить знак либо \(u\), либо \(v\). Тогда выражение переписывается в виде равенства таким образом:
\[\left[
\begin{gathered}
|u|+|v|=|u+v|\quad \text{при}\quad u\cdot v \geqslant 0\\
|u|+|v|=|u-v|\quad \text{при}\quad u\cdot v < 0\\
\end{gathered}
\right. .\] </p>
<p>Следовательно, искомое неравенство при раскрытии модуля заменяется системой из четырех неравенств.
\[\left\{
\begin{gathered}
2x^2+2x < 4x^2 +8x\\
-2x^2-2x < 4x^2 +8x\\
4x^2+2a <4x^2 +8x\\
-4x^2-2a <4x^2 +8x\\
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{gathered}
x(x-3)(x+1) < 0\\
x(x^2+2x+5) > 0\\
x > \frac{a}{4}\\
(2x+1)^2+a-1>0\\
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{gathered}
0 < x < 3\\
x > \frac{a}{4}\\
(2x+1)^2>1-a.\\
\end{gathered}
\right.\]</p>
<p> Если \(a>1\), то \(1-a<0\), следовательно, третье неравенство выполнено при любом \(x\). Тогда согласно условию, что ответ промежуток длины 1, получаем, что выражение \(3-\frac{a}{4}=1\) выполняется при \(a=8\).</p>
<p> \(a\leqslant 1\). Третье неравенство верно при \[x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{1-a}{4}}-\frac{1}{2}) \cup(\sqrt{\frac{1-a}{4}}-\frac{1}{2};+\infty).\]</p>
<p>С учетом \(x > 0\): \(x\in(\sqrt{\frac{1-a}{4}}-\frac{1}{2};+\infty).\)</p>
<p>Так как \(\frac{a}{4} \leqslant \frac{1}{4}\), то \(3-\frac{a}{4} \geqslant 3-\frac{1}{4}=2{,}75\), то есть не подходит под условие задачи. Тогда \[ 3- (\sqrt{\frac{1-a}{4}}-\frac{1}{2}) = 1;\]
\[\sqrt{\frac{1-a}{4}}-\frac{1}{2}=2 \Leftrightarrow a=-24.\]</p>

Ответ: -24, 8.