Найдите все пары вещественных чисел \((a, b)\), при которых неравенство
\begin{equation*}
3a(x+3)^4+8b(x-3)^4 \geqslant x^4+54x^2+81
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x\).

Решение

Заметим, что \((x+3)^4+(x-3)^4=2(x^4+54x^2+81)\). Стало быть, исходное неравенство можно переписать как
\begin{equation*}
(3a-\dfrac{1}{2})(x+3)^4+(8b-\dfrac{1}{2})(x -3)^4 \geqslant 0.
\end{equation*}
Подставляя \(x=3\) и \(x=-3\) получаем \(3a-\dfrac{1}{2} \geqslant 0\) и \(8b-\dfrac{1}{2} \geqslant 0\). Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех \(x\). Следовательно, искомые значения параметров \(a\) и \(b\) описываются неравенствами \(a \geqslant \dfrac{1}{6}\), \(b \geqslant \dfrac{1}{16}\).

Ответ: \(a \geqslant \dfrac{1}{6}\), \(b \geqslant \dfrac{1}{16}\).