Доказать непрерывность функций: \(f(x)=x, f(x)=\sin x\)

Решение

1)\(f(x)=x\)
<p>
Возьмем \(x=x_0\in R.\) \(\forall \varepsilon>0\); \(\exists\delta(\varepsilon)=\varepsilon\); \(\forall_x \in \stackrel{o}{U} \delta(x_0)\); \(|x-x_0|<\delta=\varepsilon\), т.е. \(|x-x_0|<\varepsilon\)
<p>
2)\(f(x)=\sin x\)
<p>
\(\forall \varepsilon>0\); \(\exists\delta>0\): \(\forall_x \in \stackrel{o}{U} \delta(x_0)\); \(|\sin x-\sin x_0|<\varepsilon\)
<p>
\(|\sin x-\sin x_0|=|2\sin \dfrac{x-x_0}{2}\cos \dfrac{x+x_0}{2}|\leq 2|\sin \dfrac{x-x_0}{2}|<2\dfrac{x-x_0}{2}=|x-x_0|<\delta=\varepsilon\)
<p>
\(\forall_x \in \stackrel{o}{U} \delta(x_0)\), т.е. \(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |\sin x-\sin x_0|<|x-x_0|<\delta=\varepsilon\)

Ответ: .