Дана правильная треугольная пирамида \(ABCS\) с основанием \(ABC\) и вершиной \(S.\) Плоскость \(\pi\) перпендикулярна ребру \(AS\) и пересекает рёбра \(AS, BS\) в точках \(D, E\) соответственно. Известно, что \(SD = AD\) и \(SE = 2BE.\) Найдите косинус угла между ребром \(AS\) и плоскостью основания \(ABC.\)

Решение

1) Опустим высоту \(SH\) и введём следующие обозначения: длину стороны основания обозначим за \(a,\) длину бокового ребра за \(6x,\) угол \(\angle HAS\) за \(\alpha,\) угол \(\angle ASB\) за \(\beta.\) Точка \(H,\) в силу правильности пирамиды, является центром правильного треугольника \(\triangle ABC,\) поэтому \(AH = \frac{a}{\sqrt3}.\) \[\cos \alpha = \frac{AH}{AS} = \frac{a}{6\sqrt3x}.\] Так как плоскость \(\pi\) перпендикулярна ребру \(AS,\) то и прямая \(DE \in \pi\) перпендикулярна этому ребру. Поэтому \[\cos \beta = \frac{SD}{SE} = \frac34.\]

2) Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \(\triangle ASB:\)
\(a^2 = 36x^2 + 36x^2 \hspace{0.1cm}- 72x^2\cdot\frac34 = 18x^2,\) откуда \(a = 3\sqrt2x.\) И окончательно: \(\cos \alpha = \frac{a}{6\sqrt3x} = \frac{1}{\sqrt6}.\)

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt6}\).