Найдите все значения параметров \(a, b,\) при которых неравенство \[a^3x^4 + 2ax^3 + b \leqslant 2bx^2 + b^3x + a\] выполняется для всех \(x\) из отрезка \([0,1].\)

Решение

1) Неравенство должно выполняться для всех чисел из отрезка \([0, 1],\) в частности для \(x\) равном \(0\) и \(1.\) \begin{gather*}
x = 0: b \leqslant a,\\
x = 1: a^3 + a \leqslant b^3 + b.
\end{gather*} Заметим, что функция \(f(x) = x^3 + x\) строго монотонно возрастает, поэтому из \(f(a) = a^3 + a \leqslant b^3 + b = f(b)\) следует, что \(a \leqslant b.\) Но с учётом условия, полученного при \(x = 0,\) делаем вывод, что \(a = b.\)

2) Осталось найти \(a,\) при которых для всех \(x\) из \([0, 1]\) выполнено неравенство \[a^3x^4 + 2ax^3 \hspace{0.1cm} - 2ax^2 \hspace{0.1cm} - a^3x \leqslant 0\] Нетрудно проверить, что для \(x\) равного \(0\) и \(1\) неравенство выполнено, поэтому считаем, что \(x \in (0, 1).\) Поэтому поделим неравенство на \(x > 0:\) \begin{gather*}
a^3x^3 + 2ax^2 \hspace{0.1cm} - 2ax^1 \hspace{0.1cm} - a^3 \leqslant 0\\
a^3(x^3 \hspace{0.1cm} - 1) + 2ax(x \hspace{0.1cm} - 1) \leqslant 0\\
a^3(x \hspace{0.1cm} - 1)(x^2 + x + 1) + 2ax(x \hspace{0.1cm} - 1) \leqslant 0
\end{gather*} Поделим на \(x - 1 < 0\) и поменяем знак неравенства:
\[a^3(x^2 + x + 1) + 2ax \geqslant 0\] При \(a = 0\) неравенство выполнено.

При \(a > 0\) поделим на него, не меняя знака неравенства:
\begin{gather*}
a^2(x^2 + x + 1) + 2x \geqslant 0\\
a^2(x^2 + x + 1) \geqslant \hspace{0.1cm} - 2x
\end{gather*} Левая часть при рассматриваемых \(a\) и \(x\) строго больше нуля, а правая строго меньше, поэтому при \(a > 0\) неравенство выполняется.

При \(a < 0\) поделим на него, меняя знак неравенства:
\begin{gather*}
a^2(x^2 + x + 1) + 2x \leqslant 0\\
a^2(x^2 + x + 1) \leqslant \hspace{0.1cm} - 2x
\end{gather*} Левая часть при рассматриваемых \(a\) и \(x\) строго больше нуля, а правая строго меньше, поэтому при \(a < 0\) неравенство не выполняется.

Ответ: \(a = b \geqslant 0\).