Найдите все пары вещественных чисел \((a, b)\), при которых неравенство
\begin{equation*}
2a(x+2)^4+9b(x-2)^4 \geqslant x^4+24x^2+16
\end{equation*}
справедливо для всех вещественных \(x\).

Решение

Заметим, что \((x+2)^4+(x-2)^4=2(x^4+24x^2+16)\). Стало быть, исходное неравенство можно переписать как
\begin{equation*}
(2a-\frac{1}{2})(x+2)^4+(9b-\frac{1}{2})(x-2)^4 \geqslant 0.
\end{equation*}
Подставляя \(x=2\) и \(x=-2\) получаем \(2a-\dfrac{1}{2} \geqslant 0\) и \(9b-\dfrac{1}{2} \geqslant 0\). Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех \(x\). Следовательно, искомые значения параметров \(a\) и \(b\) описываются неравенствами \(a \geqslant \dfrac{1}{4}\), \(b \geqslant \dfrac{1}{18}\).

Ответ: \(a \geqslant \dfrac{1}{4}\), \(b \geqslant \dfrac{1}{18}\).