Найдите все \(x\), \(y\) из интервала \((-\pi, \pi]\), удовлетворяющие системе уравнений

\(\left\{\begin{array}{l}
36 \sqrt{5} \cos x +9 \cos y +4 \sqrt{10} \cos \frac{x+y}{2} = 12 \sqrt{5}, \\
9 \cos x \cos y + 4 \sqrt{10} \cos x \cos \frac{x+y}{2}+ \sqrt{2} \cos y \cos \frac{x+y}{2} = \dfrac{4 \sqrt{5}}{3}.
\end{array}\right.\)

Решение

Положим \(a=9 \cos x\), \(b=\dfrac{9}{4\sqrt{5}} \cos y\), \(c=\sqrt{2} \cos \frac{x+y}{2}\). Тогда исходная система примет вид
\[\left\{
\begin{array}{l}
a+b+c=3
\\
ab+ac+bc=3.
\\
\end{array}
\right.\]
Тогда \[2(a+b+c)^2-6(ab+ac+bc)=0.\] Но \[2(a+b+c)^2-6(ab+ac+bc)=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2.\] Следовательно, \(a=b=c=1\). Получаем
\begin{equation*}
\cos x = \dfrac{1}{9}, \quad \cos y = \dfrac{4\sqrt{5}}{9}, \quad \cos \frac{x+y}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Заметим, что \(\arcsin \frac{4\sqrt{5}}{9}= \arccos \frac{1}{9}\). Стало быть,
\begin{equation*}
x \in \left\{\arcsin \frac{1}{9}, \pi - \arcsin \frac{1}{9} \right\}, \quad y \in \left\{\arccos \frac{1}{9}, \pi - \arccos \frac{1}{9} \right\}, \dfrac{x+y}{2} \in \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4} \right\}.
\end{equation*}
Данным трём условиям удовлетворяют только пары
\begin{equation*}
(x, y) = \left(\arcsin \frac{1}{9}, \arccos \frac{1}{9} \right), \quad (x, y)= \left(\pi - \arcsin \frac{1}{9}, \pi - \arccos \frac{1}{9} \right).
\end{equation*}

Ответ: \begin{equation*} (x, y)= \left(\arccos \frac{1}{9}, \arcsin \frac{1}{9} \right), \quad (x, y)= \left(- \arccos \frac{1}{9},- \arcsin \frac{1}{9} \right). \end{equation*}.