Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \(xyz+xy+xz+yz+2023\), если сумма неотрицательных чисел \(x\), \(y\), \(z\) равна 2022.

Решение

Так как \(x+y+z=2022\), то \(xyz+xy+xz+yz+2023=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1=(x+1)(yz+1)+z(x+1)+y(x+1)=(x+1)(yz+y+z+1)=(x+1)(y+1)(z+1)\). Сделаем замену \(x+1=a\), \(y+1=b\), \(z+1=c\) и получим \(a+b+c=2025\) и \(abc=S\). По условию \(S\) - наибольшее при \(a+b+c=2025\). По неравенству о средних: \(\sqrt[3]{abc}\leqslant \dfrac{a+b+c}{3} \Leftrightarrow S=abc\leqslant \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3\). Равенство достигается при \(a=b=c\). Тогда \(S=abc=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{2025}{3}\right)^3=675^3=3^9\cdot5^6\). Количество делителей S равно \((9+1)(6+1)=70\).

Ответ: 70.