Пусть \(\hat{x}\) — наибольший корень многочлена \(f(x)=x^3-3x^2+1\). Найти остаток от деления целой части числа \(\hat{x}^{2026}\) на 17. Целая часть числа \(a\) — это наибольшее целое число, не превосходящее числа \(a\).

Решение

</p>Заметим, \(f(-1)=-3<0\), \(f(0)=1>0\), \(f(1)=-1<0\), \(f(3)=1>0\). Тогда у функции существует три вещественных корня \(x_1, x_2, x_3=\hat{x}\), причем \(-1 < x_1 < 0 < x_2 < 1 < x_3 < 3\). Введем \(a_n := x_1^n+x_2^n+x_3^n\). \(a_0=3\), \(a_1=3\) по теореме Виета, \(a_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=9-0=9\) также из теоремы Виета. Так как \(x_i\) корень, то \(x_i^3=3x_i^2-1 \Rightarrow x_i^{n+3}=3x_i^{n+2}-x_i^n\), \(i=1,2,3\). Получаем рекуррентное соотношение \[a_{n+3}=x_1^{n+3}+x_2^{n+3}+x_3^{n+3}=3x_1^{n+2}-x_1^n+3x_2^{n+2}-x_2^n+3x_3^{n+2}-x_3^n=3a_{n+2}-a_n.\]</p>
<p>Рассмотрим остатки от деления \(a_n\) на 17</p>
<p>\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a_0 & a_1 & a_2& a_3 & a_4& a_5& a_6& a_7& a_8& a_9& a_{10}& a_{11}& a_{12} \\
\hline
3 & 3 & 9 & 7 & 1 & 11 & 9 & 9 & 16 & 5 & 6 & 2 & 1 \\
\hline a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}& a_{17}& a_{18}&a_{19}& a_{20}& a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\
\hline
14 & 6& 0 & 3 & 3 & 9& 7 & 1 & 11 & 9 & 9 & 16 & 5\\
\hline
\end{array}\)</p>
<p> Заметим цикл длиной 16. Тогда \(a_{2026}\pmod{17}\equiv a_{10}\pmod{17}\equiv 6\pmod{17}\), так как \(2026=126\cdot16+10\).</p>

<p>Тогда \([x_3^{2026}]=5\), так как \([x_3^n]=a_n-1\).</p>

Ответ: 5.