Угол при вершине в осевом сечении конуса равен \(60^\circ\). Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.

Решение

<p>Пусть \(n\) --- количество шаров, \(O\) --- центр окружности основания конуса, радиуса \(R\). \(Q_1\) ---центр одного из шаров, радиуса \(r\), \(H_1\) --- точка касания этого шара с плоскостью основания конуса (см. рис.1), \(H_2\) --- тоска касания соседнего шара с плоскостью основания (см. рис.2).</p>
<p>Найдем \(A H_1\). Угол \( \angle C A H_1 = 120^\circ \) --- внешний угол равнобедренного треугольника \(\triangle ABC\). Тогда \( \angle Q_1 A H_1 = 60^\circ \), и \(A H_1 = r \mathop{\mathrm{ctg}} 60^\circ = \frac{r}{\sqrt{3}}\) (см. рис.1). Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного \(n\)---угольника вписанного в окружность с центром в точке \(O\), радиуса \(O H_1\) и стороной \(2r\). Угол правильного \(n\)---угольника равен \(\frac{180^\circ(n-2)}{n}\) или \(\frac{\pi(n-2)}{n}\) радиан. Тогда углы \(\angle O H_1 H_2\) и \(\angle H_1 O H_2 \) равны \(\frac{\pi(n-2)}{2n}=\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n} \) и \(\pi - 2\cdot \frac{\pi(n-2)}{2n} = \frac{2\pi}{n}\)
соответственно. По теореме синусов: \[\dfrac{H_1 H_2}{\sin \angle H_1 O H_2 } = \dfrac{O H_2}{\sin \angle O H_1 H_2 };\] \[\dfrac{2r}{\sin\frac{2\pi}{n}} = \dfrac{R+\frac{r}{\sqrt{3}}}{\sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n})};\]
\[\dfrac{2r\cos \frac{\pi}{n}}{2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}} = R+\frac{r}{\sqrt{3}};\] \[r\left(\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = R;\] </p>
<p>Подставляем и получаем ответ: \(3\left(\frac{1}{\sin\frac{\pi}{11}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{3}{\sin\frac{\pi}{11}}-\sqrt{3}\).</p>

Ответ: \(\frac{3}{\sin\frac{\pi}{11}}-\sqrt{3}\).