Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней этого куба равно 8.

Решение

<p>Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - куб. Ребро куба равно \(a\), \(d\) - расстояние между непересекающимися диагоналями \(AD_1\), \(DC_1\) двух смежных боковых граней. Расстояние между срещивающимися прямыми равно расстоянию между паралельными плоскостями, которым принадлежат прямые. \((AB_1D_1)\) и \((BDC_1)\) - искомые плоскости.\(A_1C\) - диагональ. Рассмотрим рис.2. Пусть \(\angle O_1OC_1 = \alpha\), \(\angle HCO = \beta\). \(\angle CHK = \angle HCO = \beta\), так как накрестлежащие, и \(\angle OMH = 90^\circ - \alpha\). Тогда \(\sin \alpha = \dfrac{\frac{a}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), \(\sin \beta=\dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Так как \(\sin \alpha = \sin \beta\), то углы равны. Следовательно, \(\triangle HMN\) прямоугольный. Тогда \(\angle CMO = 90^\circ\) и \(CM=\dfrac{2}{3}CH=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\). Аналогично, \(A_1M_1=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\). Также \(CH\perp (BDC_1)\), так как \(\angle CMO = 90^\circ\) и \(BD\perp CH\).</p>
<p>Таким образом, \(MM_1 = \sqrt{3}a - 2\dfrac{\sqrt{3}a}{3}=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}=d \Rightarrow a=\sqrt{3}d\). Площадь полной поверхности куба \(6a^2=18d^2=1152\).</p>

Ответ: 1152.