Решите уравнение \(5 \sin x +7 \cos 2x =6\).

Решение

Воспользуемся формулой \( \cos 2 \alpha = 1-2 \sin^2 \alpha\):
\begin{equation*}
5 \sin x +7 \cos 2x =6
\Leftrightarrow
5 \sin x +7-14 \sin^2 x =6
\Leftrightarrow
14 \sin^2 x - 5 \sin x -1=0
\Leftrightarrow
\end{equation*}

\begin{equation*}
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2} \\
\sin x = - \frac{1}{7} \\
\end{array}
\right.\\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x=(-1)^k \frac{\pi}{6} +k \pi ,\\
x=(-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{7} +k \pi ,\\
\end{array}
\right.\\
k \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

Ответ: \((-1)^k \frac{\pi}{6} +k \pi , (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{7} +k \pi , k \in \mathbb{Z}\).