На координатной прямой отмечены \(9\) точек с координатами \(2; 25; 7; −3; 12; 19; −5; 8; 9\). Найдите координату точки, сумма расстояний от которой до указанных \(9\) точек минимальна. Ответ обоснуйте.
Ключом шифрсистемы служит таблица \(4\times4\), в каждую ячейку которой записана одна из цифр \(0, 1, 2\). При этом должны делиться на \(3\) сумма цифр в каждой строке, сумма цифр в каждом столбце, а также суммы цифр на каждой из двух диагоналей, отмеченных пунктиром. На рисунке приведен один из возможных вариантов ключа. Сколько существует всего различных ключей?\(\\\) \[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}\]
Целое число \(s \in \{0, \ldots ,30\}\) может быть преобразовано следующим образом. Пусть, например, \(s = 9\). Представим его в двоичной системе счисления пятизначным числом: \(s = 9 = 010012\). Теперь выберем какое-нибудь целое число \(c >= 0\) и сдвинем получившуюся строку \(01001\) циклически на \(c\) позиций влево. Например, при \(c = 1\) получится строка \(10010\), представляющая собой двоичную запись числа \(18\). Значит, сдвигом на одну позицию из числа \(9\) получается число \(18\); будем это записывать так: \(9 \leftarrow 1 = 18\). (Если \(01001\) сдвинуть влево на две позиции, то получится \(00101\), то есть \(9 \leftarrow 2 = 5\).) Итак, \(s \leftarrow c\) – это число, получившееся сдвигом числа \(s\) на \(c\) позиций влево. Для зашифрования осмысленного слова выбирается секретный ключ – набор из \(64\) чисел \(k_1, \ldots , k_{32} \in {0, \ldots ,30}\) и \(c_1, \ldots , c_{32} \in {0,1,2,3}\). Затем с каждой буквой слова (по отдельности) проделывается следующее. Букву заменяют числом \(a\) по таблице и последовательно вычисляют \(a_1 = (a + k_1) \leftarrow c_1, a_2 = (a_1 + k_2) \leftarrow c_2, \ldots , a_{32} = (a_{31} + k_{32}) \leftarrow c_{32}\). Исходную букву затем заменяют на букву, соответствующую числу \(a_{32}\). (Если в процессе вычислений получается число, превышающее \(30\), то оно заменяется остатком от деления на \(31\). Так, сумму \(20 + 17\) следует заменить на \(6\).) В результате зашифрования получился набор букв ЯГКЫНИ. Найдите исходное слово, если известно, что при зашифровании на этом ключе буква Ъ переходит в букву Ь, а буква П – в Е.
Найдите все положительные значения параметра \(a\), при котором уравнение \(\log_{2-x} (a^{2+x}+2a^{1-x}+x-1) +\)\(\log_{2+x} (a^{2-x}+2a^{1+x}-x-1)=2\) имеет ровно одно решение (относительно \(x\) ).
Дан тетраэдр \(ABCD.\) Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на \(AB,\) что плоскости \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны и что \(AD = DC = CB.\) Найдите угол между прямыми \(AD\) и \(CB.\)
Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(F.\) Известно, что \(AD = 30\) см, \(CF = 16\) см, а площади треугольников \(AFB, BFC, CFD\) равны 40 см\(^2\), 80 см\(^2\), 120 см\(^2\) соответственно. Какие значения может принимать величина угла \(DAC\)?
Произведение двух натуральных чисел \(m\) и \(n\) уменьшили на 25. Результат разделили на сумму чисел \(m\) и \(n\) с остатком. В частном получили 4, а в остатке 50. Найдите натуральные числа \(m\) и \(n\).
Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.<br/> а) Может ли это отношение быть равным 34? <br/> а) Может ли это отношение быть равным 84? <br/> а) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трехзначного числа равна 4?
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел. А) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии? Б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии? В) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Назовем натуральное число интересным, если предпоследняя цифра в его десятичной записи равна 9. Например, числа 90, 193 и 2090 интересные, а 9, 919 и 2020 – нет. А) Можно ли представить число 3170 в виде суммы четырех интересных чисел? Б) Можно ли представить число 2121 в виде суммы четырех интересных чисел? В) Сумма \(n\) интересных чисел равна 2121. Найдите наименьшее значение.
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.
Каждый из 28 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно \(S.\) \(\\ \) а) Привести пример, когда \(S<15\). \(\\ \) б) Может ли значение быть \(S\) равным 5? \(\\ \) в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\), если обе контрольные писали 10 студентов?
На отрезке AB взята точка \(C\). Прямая, проходящая через точку \(C\), пересекает окружности с диаметрами \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\), а также окружность с диаметром \(AB\) – в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что \(KM = LN.\)
5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с равными сторонами \(AB\) и \(BC\) проведены биссектрисы \(AD\) и \(CE.\) Окружность, вписанная в треугольник \(ABC,\) касается сторон \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Найдите \(DE,\) если \(AC = 12\) и \(KL = 9.\)
Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\log_{2-x} (a^{2+x} + 2a^{1-x} + x - 1) + \log_{2+x} (a^{2-x} + 2a^{1+x} - x - 1) = 2 \] имеет ровно одно решение (относительно \(x\)).
Числа \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{20}\) образуют \( \href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметическую прогрессию}}\). Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна \(9\), а сумма последних десяти членов равна \(11\). Найдите сумму \(a_6 + a_7 + \ldots+ a_{14} + a_{15}.\)
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведены биссектриса \(AL\) и высота \(CH\). Найдите косинус угла \(\angle BAC,\) если \(HL \parallel AC. \)
Найдите все значения параметра \(a\) из промежутка \([0, 2\pi)\), при которых уравнение: \[\sqrt{\dfrac{3}{2} x^2 - xy + \dfrac{3}{2} y^2} = x \cos a + y \sin a,\] имеет хотя бы одно решение \((x, y)\), отличное от \((0, 0)\).
Дана возрастающая геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, b_3, ... , \) состоящая из положительных чисел. Известно, что сумма первого и третьего членов этой прогрессии равна второму члену, умноженному на \(\dfrac{10}{3}\). Найдите отношение \(\quad b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}\quad\) к \(\quad b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5\).
На высоте \(AH\) остроугольного треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Найдите отношение \(BH : HC\), если \(BD : DA = 2 : 1\) и \(AE : EC = 3 : 1\).
Любитель коктейлей Игнат смешал 300 мл морковного сока с 200 мл сливок. Тщательно перемешав полученную смесь, Игнат попробовал её на вкус и решил, что сливок оказалось слишком много. Игнат налил в полулитровый графин 200 мл морковного сока, а остальные 300 мл заполнил приготовленной смесью. Каково процентное содержание сливок в полученном напитке?
Дана \(\href{https://examp.info/onedef/ravnobokaya-trapeciya/}{\text{равнобокая трапеция}}\) \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\). Известно, что окружности, вписанные в треугольники \(ABC\) и \(ACD\), касаются диагонали \(AC\) в одной и той же точке. При этом точка касания первой окружности со стороной \(BC\) делит эту сторону пополам. Найдите отношение, в котором точка касания второй окружности со стороной \(AD\) делит эту сторону, считая от точки \(A\).
Найдите все пары действительных чисел \((x,y)\) с наименьшим возможным значением \(y\), удовлетворяющем неравенству \(\log_{x^{2}-y} \left(x-y^{2}+\frac{7}{4} \right)\geqslant 1\)
Сфера касается всех рёбер тетраэдра \(ABCD\). Известно, что произведения длин скрещивающихся рёбер равны. Известно также, что \(AB=3,BC=1\). Найдите \(AC\).
Автовладелец Авдей продал автосалону свой автомобиль за \(60\%\) его первоначальной стоимости. Автосалон выставил на продажу этот автомобиль за цену, на \(20\%\) большую уплаченной Авдею. Какова доля получившейся цены по отношению к первоначальной?
Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \(\sin^{6} x + \cos^{6} x + a\cdot\sin 2x \geqslant a^{2}\) выполняется для всех действительных \(x\).
Вписанная в треугольную пирамиду \(ABCD\) сфера касается граней \(BCD\), \(ACD\), \(ABD\) и \(ABC\) в точках\(A_1, B_1, C_1, D_1\) соответственно. Известно, что \(D_1\) является точкой пересечения высот треугольника \(ABC\), что плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\) в четыре раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника \(A_1B_1C_1\). Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок \(DD_1\), считая от вершины \(D\).
Найдите все значения параметра \(a\), при которых наименьшее (по \(x\)) значение выражения \(\log^{2}_2 (ax) + \log^{2}_2 \left(\frac{1-a}{x}\right)\) максимально.
Футболист Федот сыграл в трёх матчах на чемпионате. Премиальная выплата Федота за второй матч в связи с отличной игрой была на \(n\) процентов больше, чем за первый. В третьем же матче Федот не сумел показать хорошую игру и его премия за этот матч оказалась на \(n\) процентов меньше чем за второй матч. Найдите \(n\), если известно, что премия за третий матч составила \(64\%\) от премии за первый матч.
Окружность \(\Omega_1\) с центром \(O_1\) пересекает окружность \(\Omega_2\) с центром \(O_2\) в точках \(A\) и \(B\). При этом точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат вне \(\Omega_2\) и \(\Omega_1\) соответственно. Касательная к окружности \(\Omega_2\) в точке \(A\) пересекает \(\Omega_2\) в точках \(A\) и \(C\). Касательная к окружности \(\Omega_1\) в точке \(A\) пересекает \(\Omega_2\) в точках \(A\) и \(D\). Найдите угол между прямыми \(O_{1}C\) и \(O_{2}D\), если известно, что \(\angle AO_{1}B = 36^{\circ} и \angle AO_{2}B = 64^{\circ}\)
Дан \(\href{https://examp.info/onedef/parallelepiped/}{\text{параллелепипед}}\) \(ABCDA'B'C'D'\) объема 1 с основаниями \(ABCD\) и \(A'B'C'D'\) и боковыми ребрами \(AA'\),\(BB'\),\(CC'\),\(DD'\). На ребрах \(AB\), \(B'C'\), \(CD\) и \(A'D'\) отмечены точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AK:KB=CM:MD=1:3\) и \(B'L:LC'=D'N:NA'=1:2\). Найдите объем тетраэдра \(KLMN\).
Дан параллелепипед \(ABCDA'B'C'D'\) с основаниями \(ABCD\) и \(A'B'C'D'\) и боковыми ребрами \(AA'\),\(BB'\),\(CC'\),\(DD'\). Все рёбра параллелепипеда равны. Плоские углы при вершине \(B\) также равны. Известно, что центр сферы описанной около тетраэдра \(AB'CD'\), лежит в плоскости \(AB'C\). Радиус этой сферы равен 2. Найдите длину ребра параллелепипеда.
Дано уравнение \(x^2-a=|x-b|.\) Для всякого целого неотрицательного числа \(n\) найти множество \(M_n\) пар параметров, при которых рассматриваемое уравнение имеет ровно \(n\) решений. Изобразить эти множества на координатной плоскости \((a,b).\)
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма квадратов её членов равна 18. Найти сумму абсолютных величин членов прогрессии.