Найдите все значения параметра \(a\) из промежутка \([0, 2\pi)\), при которых уравнение:
\[\sqrt{\dfrac{3}{2} x^2 - xy + \dfrac{3}{2} y^2} = x \cos a + y \sin a,\] имеет хотя бы одно решение \((x, y)\), отличное от \((0, 0)\).

Решение

При \(x^2 + y^2 \ne 0\) имеем: \(x \cos a + y \sin a = \sqrt{x^2 + y^2} \sin (a + b)\) для некоторого \(b\) (\(\href{https://examp.info/theorem/vspomogatelnogo-ugla/}{\text{по методу вспомогательного угла}}\)) и, следовательно, \(x \cos a + y \sin a \leqslant \sqrt{x^2 + y^2} .\)

С другой стороны:
\[\sqrt{\dfrac{3}{2} x^2 - xy + \dfrac{3}{2} y^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}(x^2 - 2xy + y^2)} =\]

\[= \sqrt{x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2} (x - y)^2} \geqslant \sqrt{x^2 + y^2}.\quad\]
Заметим, что равенство достигается \(\quad\Leftrightarrow\quad x = y.\)

Таким образом, для того, чтобы равенство из задачи выполнялось, необходимо \(x = y\). При \(x = y\) исходное уравнение принимает вид:

\[ |x|\sqrt{2} = x\sqrt{2} \sin \left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) .\]

Оно имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда \(\sin \left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) = \pm 1\), то есть при \(a= \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} .\)

\[a \in [0, 2\pi) \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{5\pi}{4}.\]

Ответ: \(a = \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{5\pi}{4}\).