Исследовать на сходимость:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{n}{n^2+1}\).

Решение

Последовательность \(\frac{n}{n^2+1}\) состоит из положительных членов, следовательно, последовательность \(\mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{n}{n^2+1}\) так же состоит из положительных членов, т.е. ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{n}{n^2+1}\) знакоположительный. Очевидно, что необходимое условие сходимости ряда выполненоо, т.е. \(a_n=\mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{n}{n^2+1} \to 0\).

Заметим, что \(\mathop{\mathrm{arcsin}}\frac{n}{n^2+1} \sim \frac{n}{n^2+1}\sim \frac{1}{n}\), т.е. исходный ряд эквивалентен гармоническмоу ряду \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), который расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.

Ответ: расходится.